The numerical studies of the modified van der pol equation in electrical circuits

Abstract

The van der Pol equation is a nonlinear dynamical system found in a triode circuit. The modified van der Pol equation is defined as d2x/dt2-u(1-x2)dx/dt+x3 =Bcos(t). This research studied the modified van der Pol equation numerically. We plotted the graph for (x,y), (d2x/dt2,y) and a time series with different parameters u,B,x(0),y(0) and a number of steps to study their behaviors, using the Runge–Kutta method (RK4), and the Adams-Bashforth-Moulton method (ABM). The results of the phase plane analysis showed that among a total of eight results, two were found to have a limit cycle, and the other six were nonexistence of a limit cycle. It was concluded that in the case of a limit cycle does not depend on the initial condition. A van der Pol equation and the modified van der Pol equation were compared. The case of almost periodic oscillation and power spectral density (PSD) were also investigated.

สมการแวนเดอร์โพลคือระบบพลวัตแบบไม่เป็นเชิงเส้นพบในวงจรไทรโอด สมการแวนเดอร์โพลดัดแปลงสามารถนิยามได้เป็น d2x/dt2-u(1-x2)dx/dt+x3 =Bcos(t) งานวิจัยนี้เป็นการศึกษาเชิงตัวเลขของสมการแวนเดอร์โพลดัดแปลง โดยวาดเส้นกราฟ (x,y), (d2x/dt2,y) และอนุกรมเวลา เมื่อกำหนดพารามิเตอร์ u,B,x(0),y(0) และจำนวนก้าวให้มีค่าต่างๆเพื่อศึกษาพฤติกรรมของระบบ โดยใช้วิธีรุงเง-คุตตาและวิธีอาดามส์แบชฟอร์ทโมลตัน ในการวิเคราะห์เฟสระนาบผลลัพธ์พบว่าจากทั้งหมด 8 ผลลัพธ์ มีวัฏจักรลิมิตใน 2 ผลลัพธ์ อีก 6 ผลลัพธ์ไม่มีมีวัฏจักรลิมิต เราสรุปว่ากรณีมีวัฏจักรลิมิตไม่ขึ้นกับเงื่อนไขเริ่มต้น มีการเปรียบเทียบสมการแวนเดอร์โพลกับสมการแวนเดอร์โพลดัดแปลง ในกรณีของการแกว่งไกวแบบเกือบเป็นคาบและเพาเวอร์สเปกตรัลเดนซิตียังถูกนำมาศึกษาอีกด้วย